4.1.2. Цикл Карно

Предельные соотношения для перехода теплоты в работу вытекают из анализа циклического процесса, совершаемого тепловой машиной Карно. В этом процессе каждая индивидуальная порция рабочего вещества претерпевает последовательное четырехстадийное изменение состояния: изотермическое расширение с получением теплоты от теплового резервуара – источника теплоты при температуре T₁; адиабатическое расширение, сопровождаемое охлаждением до температурыT₂; изотермическое сжатие с отводом теплоты к тепловому резервуару – стоку теплоты при температуре T₂ и адиабатическое сжатие, сопровождаемое нагреванием до первоначальной температуры T₁. Суммарная работа, совершаемая выделенной порцией рабочего вещества (таковым может быть, например, индивидуальный газ, газовая смесь, гетерогенная смесь жидкость-пар), за один цикл равна

, (4.1)

где и ; знаки потоков теплоты выбраны относительно тепловой машины как исследуемой системы.

В идеальной тепловой машине Карно все процессы протекают квазиравновесно и, кроме того, теплоперенос от источника к рабочему веществу и от рабочего вещества к стоку теплоты также происходит квазиравновесно (температура рабочего вещества на неадиабатических стадиях поддерживается близкой к температуре теплового резервуара); в этом предположении в соответствии с "равновесной" частью формулировки второго закона (2.1), при полном обходе замкнутой траектории изменения состояния рабочего вещества имеем уравнение сохранения энтропии

. (4.2)

Исключая из уравнений (4.1) и (4.2), получаем

. (4.3)

Рис. 4.1. Схема тепловой машины Карно (по Р.Хейвуду).

На рис. 4.1 приведена выразительная схема тепловой машины Карно, использованная в книге Р.Хейвуда "Термодинамика равновесных процессов". Траектория изменения состояния рабочего вещества в цикле наиболее простую форму приобретает на плоскости параметров S-T   (рис.4.2). Работа цикла равна площади прямоугольника, изображающего эту траекторию. Ключевым моментом для замыкания траектории является остановка стадии изотермического сжатия в точке S = S₁.

Рис. 4.2. Траектория изменения состояния рабочего вещества в цикле Карно.

Формула (4.3) показывает, что необходимым условием производства работы тепловой машины является перенос теплоты от "горячего" к "холодному" резервуару, . Степень преобразования подведенной к машине теплоты в работу характеризуется коэффициентом полезного действия

. (4.4)

Если циклический процесс в машине Карно не идеален, т.е. включает какие-либо неравновесные процессы, то вместо равенства (4.2) имеет место неравенство , откуда

.

Особая роль, которую играет в термодинамике равновесный цикл Карно, определяется тем обстоятельством, что в этом цикле достигается максимальный к.п.д. тепловой машины по сравнению с любыми другими циклическими процессами в том же диапазоне рабочих температур  (T_2,T₁₎ .

Приведем вариант доказательства этого важного утверждения, не используя никаких дополнительных предложений помимо исходной формулировки второго закона (2.1). В произвольном циклическом процессе всегда можно выделить совокупность элементарных тепловых источников , подводящих теплоту при соответствующих локальных температурах T_j, и совокупность элементарных стоков теплоты , отводящих теплоту при температурах T_j. Работу цикла можно представить тогда как

;

к.п.д. цикла равен

.

Неравенство (2.1) в применении к рассматриваемому процессу примет форму

.

Поскольку цикл не совпадает с циклом Карно, то и , причем хотя бы для отдельных элементарных источников или стоков выполняются именно неравенства. Тогда

,

причем хотя бы одно из трех неравенств выполняется строго (иначе цикл тождествен равновесному циклу Карно). Отсюда следует

и .

По ходу этого доказательства становится очевидной причина экстремальной эффективности цикла Карно: в этом цикле вся потребляемая теплота имеет наиболее высокий потенциал, а вся отводимая теплота – наиболее низкий потенциал в заданных границах температурного интервала.

Машина Карно может быть запущена и в обратном направлении; все стадии циклического процесса при этом изменятся на противоположно направленные. На рис. 4.2 этому будет соответствовать обход той же самой равновесной траектории против часовой стрелки. Уравнения (4.1) – (4.4) остаются справедливыми и для такого варианта функционирования машины Карно, но величины, характеризующие потоки энергии, изменяют свои знаки на противоположные: . Машина Карно будет переносить теплоту с нижнего температурного уровня T₂ на более высокий температурный уровень T₁, не производя, а затрачивая работу. Можно доказать, по аналогии с предыдущим, что обратный идеальный цикл Карно обеспечивает минимальные затраты работы по сравнению с любыми другими циклическими процессами при перекачке заданного количества теплоты из резервуаров с температурой в резервуары с температурой .